Matemáticas y elecciones


La vida cotidiana obliga a tomar decisiones. En unos casos competen al ámbito individual, como cuando se elige entre alquilar una casa o comprarla. En otros, están encaminadas a elegir el delegado sindical o el presidente del Gobierno y, en cualquiera de ellos, lo natural es hacerlo por votación.

Ahora bien, cuando se implementa una votación, empiezan los interrogantes. ¿Existe algún mecanismo electoral que represente la voluntad de los electores? ¿Cuál es? Hagamos una prueba viendo qué hacen 20 alumnos de un colegio cuando eligen, por votación directa, el delegado que los representará ante la dirección. Se presentan cuatro candidatos, Ana, Juan, Mateo y Sara, cada elector votará por su candidato preferido, y quien obtenga más votos saldrá elegido. Parece un método sencillo y del agrado de todos. Sin embargo, al hacer el recuento advertimos que cada candidato ha recibido cinco votos, por lo que hay un cuádruple empate. ¿Qué hacemos? Los alumnos podrían votar otra vez, pero ello no les libraría de la complicación: si mantienen sus preferencias, se producirá un empate sistemáticamente.

¿Hay alguna salida? Una alumna sugiere que los cuatro candidatos compitan todos contra todos, pero en desafíos individuales: Ana contra Juan, Juan contra Mateo, etcétera. El ganador de cada enfrentamiento obtendrá un punto y quien consiga más puntos será el delegado. A todo el mundo le parece bien la propuesta, por lo que dicho y hecho. Y resulta que Ana le gana a Juan por 15 votos a 5 y a Mateo por 11 a 9, y pierde con Sara por 12 votos a 8; Juan le gana a Mateo por 13 a 7 y pierde con Sara por 14 a 6; y Mateo le gana a Sara por 18 a 2. Ana y Sara obtienen dos puntos cada una y, ¡oh decepción!, persiste el empate. Todo indica que habrá que seguir participando y alguien propone utilizar el desempate olímpico, consistente en ver quién de las ganadoras ha ganado el pulso directo entre ellas. Ha sido Sara y, por tanto, es la que resulta definitivamente elegida.

Ahora bien, ¿es justo este método? ¿Qué pasaría si en lugar de contabilizar las elecciones que ha ganado cada candidato computásemos los votos que ha obtenido en cada elección? ¿No sería una forma más apropiada de medir las preferencias de los electores? Si hacemos esto, veremos que Sara - la ganadora -  obtuvo 28 votos a favor y 32 en contra, mientras que Ana recibió 26 votos a favor y 26 en contra. ¿Puede alguien con más votos en contra que a favor ser delegada? ¿No sería incluso más justo designar a Mateo y no a Sara? Al fin y al cabo, es el único candidato que ha recibido más votos a favor que en contra.

A vueltas con estas preguntas, los alumnos advierten que no hay ganador claro y que están en el punto de partida. Derrotados, deciden que ya se las apañarán para seguir adelante sin representante. Claro que la historia que estamos describiendo no tiene la misma gravedad que la de elegir, por ejemplo, al presidente del Gobierno.

Sigamos indagando para ver si encontramos elecciones más justas y que no nos dejen, como a los alumnos, sin gobierno o incluso sin helado en un caluroso día de agosto. Imagine el lector una madre con sus tres hijos en el supermercado tratando de elegir una barra de helado para el postre. Hay barras de tres sabores, vainilla, fresa y nata, la madre pregunta a los chicos y cada uno da su opinión. El hijo mayor prefiere, por este orden, vainilla, fresa y nata; el mediano, fresa, nata y vainilla; y la benjamina, nata, vainilla y fresa. Cada hijo agrega ahora a su sabor preferido un segundo sabor (e incluso un tercero) y caemos en un triple empate. Y como ninguno quiere modificar su orden de preferencias, la discusión entre ellos es tan sonora que la madre decide que, de postre, tomarán melón.

El círculo vicioso que surge en este tipo de elecciones en el que se considera más de una preferencia se llama ciclo y es el mismo tipo de resultado que en el juego «piedra-papel-tijera». Porque en un ciclo, salvo que algún elector cambie su preferencia, no hay vencedor posible. La única forma de determinar un ganador es el azar o la imposición de uno a dedo.

En cualquiera de los casos no hay un ganador claro que represente la voluntad de todos. ¿Nos damos por vencidos? No, lo que precisamos es encontrar una forma de extrapolar las preferencias de los electores (que, supuestamente, son sensatas) y transformarlas en preferencia colectiva. Sin embargo, sabemos que, siempre que haya más de tres electores y más de dos alternativas entre las que elegir, es imposible encontrar un método razonable de elección que exprese el deseo legítimo de todo el mundo.

Por Manel Antelo Profesor de Economía de la Universidad de Santiago

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