De cuestiones triangulares

La palabra «hipotenusa» significa ?cuerda tensada? y se refiere al modo de construir ángulos rectos al delimitar terrenos

«Italia y Germania» (1828), de Johann Friedrich Overbeck. Nueva Pinacoteca, Múnich
«Italia y Germania» (1828), de Johann Friedrich Overbeck. Nueva Pinacoteca, Múnich

Podrían ser Justa y Rufina, Casta y Susana o María Dolores y Soraya, pero no: la pintura es alegórica y representa a Italia y Germania, el sur y el norte, en una explícita manifestación de amistad. Además de caracterizarlas en el cabello, el vestido y el paisaje, Overbeck (1789-1869) optó por dar a la escena esa composición triangular que recuerda obras de Leonardo y Rafael, y que si queremos podría también evocar aquello de que no hay dos sin tres. Se me ocurren varias opciones para una tercera nación en discordia (o concordia) con Italia y Germania, porque si se tiene base, casi siempre se puede construir un triángulo. En el caso de las patronas sevillanas Justa y Rufina, la tercera en discordia es casi siempre la Giralda, que está por medio, las también hermanas Casta y Susana -una morena y una rubia, hijas del pueblo de Madrid- necesitan de don Hilarión para ir a la verbena de la Paloma, y seguro que María Dolores y Soraya ayudarán a buscar un vértice opuesto a la base sin necesidad de recurrir para ello a la zarzuela. Los triángulos molan, y como veremos hay cuerda para rato.

La cuestión triangular más antigua que conocemos es el llamado teorema de Pitágoras, una relación entre los lados de un triángulo rectángulo que ya se sabían los babilonios más de mil años antes de Pitágoras. Conocían que dividiendo una cuerda en doce partes iguales y cerrando con ella un triángulo de lados 3, 4 y 5 se obtenía un ángulo recto. Este método se usó mas tarde, en Egipto, para construir lados perpendiculares a la hora de volver a delimitar las fincas que, como se sabe, cada año quedaban anegadas por las crecidas del Nilo. Por cierto, que la palabra hipotenusa en griego significa ‘fuertemente tensada’ y hace referencia a aquella construcción de triángulos rectángulos con la cuerda tirante entre las estacas. Pitágoras aprendió esa relación en alguno de los numerosos viajes que hizo a Egipto. El teorema suele enunciarse diciendo que el cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Recordemos que con la palabra cuadrado Pitágoras no quería decir un número multiplicado por sí mismo, sino una figura geométrica cuadrada construida sobre cada uno de los lados. Al afirmar que la suma de dos cuadrados es igual a otro se quiere decir que los pequeños pueden recortarse de tal forma que las piezas encajan exactamente dentro del grande.

 En el siglo VI antes de Cristo, el susodicho Pitágoras fundó una secta que tenía especial devoción por los números triangulares, es decir aquellos que traducidos a puntos pueden ordenarse según un triángulo. Por convenio aceptaban que el uno es el primero de esa serie de números, que se continúa con 3, 6, 10, 15, 21… y en la que tiene carácter especial el 10, que se representa en la llamada tetraktys, una figura donde diez puntos quedan ordenados en un triángulo equilátero de lado 4. Esa disposición adquiría en la hermandad pitagórica carácter de símbolo místico y metafísico, y le otorgaban múltiples significaciones. Era tanta su importancia que hasta resultaba invocada en las reuniones de aquella sociedad secreta: «¡Bendícenos, divino número, tú que engendraste dioses y hombres! ¡Oh, santo, santo tetraktys, tú que contienes la raíz y la fuente de la creación que fluye eternamente!». Evidentemente, tanta veneración no podía traer cosas buenas, y aunque a la escuela pitagórica se le atribuyen diversos logros matemáticos, como el haber reconocido que la suma de los ángulos de un triángulo vale dos rectos, el descubrimiento de los números irracionales o la definición de los cinco sólidos regulares, su obsesión por que todo encajase en la tetraktys les hizo inventar una contra-Tierra, para que de ese modo las esferas celestes pudieran llegar a ser 10. En su cuenta, no salían más que nueve: Tierra, siete planetas (los cinco visibles más Sol y Luna) y las estrellas. Ahí metieron la pata. Eso pasa por buscar cinco pies al gato.

Palabras con historia

Las calabazas son los únicos seres vivos con ojos triangulares

Harland Williams (1962-)

En cualquier relación triangular, ¿quién es el traidor, quién el rival invisible y quién el amante humillado? ¡Uno mismo, uno mismo y nadie más que uno mismo!

Erica Jong (1942-)

Un motor rotativo de combustión interna en el que un rotor triangular gira dentro de una carcasa especialmente diseñada y que realiza las mismas funciones que los pistones de un motor convencional, pero reduciendo peso y número de partes móviles

Felix Wankel (1902-1988)

Si los triángulos tuvieran un dios, sería triangular

Charles Louis de Secondat, barón de Montesquieu (1689-1755)

Su cabeza triangular y aplastada oscila conforme a una modulación hipnótica, sus ojillos agudos, de transparentes párpados, la acosan, tenaces, como cabezas de alfiler

Juan Goytisolo (1931-2017)

actividades

1. El lienzo «Italia y Germania» es un modelo de composición triangular en el arte. ¿Cuáles de estos cuadros crees que también la tienen?

  • «El expolio», de El Greco
  • «El nacimiento de Venus», de Botticelli
  • «El quitasol», de Goya
  • «La rendición de Breda», de Velázquez
  • «La libertad guiando al pueblo», de Delacroix

2. Clasifica las siguientes palabras en dos grupos, según su significado tenga o no relación con el número tres: trinidad, triduo, trino, tricornio, tridente, tripa, triunvirato, trivial, tribal, triciclo, trípode, triatlón, triplete, trinchera, tripulación, triste, trío, trigonometría.

3. El Triángulo de Verano es un asterismo que preside el cielo de nuestras noches en la época estival. ¿Sabes qué estrellas lo forman? ¿Es alguna de ellas visible en esta época del año?

4. A la escuela pitagórica se atribuye el descubrimiento de los números irracionales, como el que resulta de medir la diagonal del cuadrado tomando como unidad el lado. ¿Conoces el valor de ese número? Cita también otros números irracionales.

5. «Tetraktys». Esta disposición triangular de diez puntos era motivo de veneración entre los iniciados pitagóricos. Indica cuántos triángulos puedes construir tomando como vértices esos puntos.

6. Los cinco sólidos regulares definidos por los pitagóricos son tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. ¿Cuáles tienen caras triangulares?

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